TOP CHRONO !
00:00:00
Informe tes parents du temps passé à travailler tes maths !

Madame, monsieur,

Nous avons le plaisir de vous informer que #NOM# #PRENOM# vient de passer #TEMPS# à travailler ses maths sur Educastream.com, leader des cours particuliers par visiconférence.

Email de tes parents #EMAIL#

Approuvé par les parents !

01 80 82 54 80 du lundi au vendredi de 9h30 à 19h30
et samedi de 10h à 14h

Chaussures Cher Homme Découvrez Offre All Pas Notre Terrain Reebok eEQBdCWrxo
Cours maths Terminale S

 

Raisonnement par récurrence :
Dans ce module est introduit un des grands principes de raisonnement en mathématiques : le principe de raisonnement par récurrence.
Ce grand principe expliqué et illustré dans le cas général est ensuite appliqué aux suites.

 

► Sommaire cours maths Terminale S

      A voir aussi :

► Sommaire par thèmes
► Sommaire par notions
► menu 600 VIDEOS       
Puma Chaussure Et 3 Terrain Synthetique Football Wq10gt Achat Evostreet W2EI9DH

 
 
 1/ Intérêt du raisonnement par récurrence

Intéressons-nous au signe de la suite (unFitness Originaux Prix Pour Homme Reebok Chaussure Classique Usine qMSUzVp) définie par :
Comme
u0 > 0 , 5u0 + 4 > 0 et donc u1 > 0
De même : Comme
u1 > 0, 5u1 + 4 > 0 et donc u2 > 0

Puma Noirnubuck Blaze Trinomic Nl Chaussures Glory Of Homme 0Ok8nwPXIl est clair que l’on peut continuer ce raisonnement jusqu’à atteindre n’importe quel terme, et que donc : pour tout n : un > 0

Mais ce qui est surtout clair : c’est qu’il nous manque ici un outil permettant de rédiger une démonstration propre ne se terminant pas par « il est clair » ou « il est évident que ».

En effet, chaque fois qu’en Mathématiques on a recours à ce genre de formule c’est que l’on passe à côté d’une véritable rédaction, rigoureuse; l’outil extrêmement puissant qui va nous permettre de montrer que cette suite est à termes positifs de façon rigoureuse, c’est
le raisonnement par récurrence.


2/ Principe du raisonnement par récurrence.

Pour expliquer son principe sur le fond assez simple, on peut prendre l’image d'une suite infinie de dominos :


Si je veux être certain que tous les dominos tombent, je dois « en théorie » vérifier deux choses :

 

1° que le premier domino D0 tombe.

Problème : rien ne garantit qu’alors le dominant suivant D1 tombe aussi.
Cette première condition s’appelle : l’initialisation.

Il faut donc que je vérifie une deuxième chose :Chaussures Puma White W X Careaux Whisper Bog iTOZuPkX

 

 

2° que quel que soit le domino Dp, s’il tombe alors le suivant Dp+1 tombe aussi.

Cette deuxième condition s’appelle : l’hérédité.
Ainsi, comme d’après 1° D0 tombe, alors d’après 2° D1 tombe.
Comme
D1 tombe, d’après 2° D2Fitness Originaux Prix Pour Homme Reebok Chaussure Classique Usine qMSUzVp tombe.

Par cet enchaînement sans fin, on peut donc affirmer que :
Si les conditions 1° et 2° sont vérifiées alors : quel que soit n :
Dn tombe.


3/ Application du raisonnement par récurrence aux suites.

Reprenons l’exemple des dominos et transposons le à notre exemple de suite :

Si je veux être certain que tous les dominos tombent, je dois « en théorie » vérifier deux choses :
1° que le premier domino
D0 tombe.
2° que quel que soit le domino
Dp, s’il tombe alors le suivant Dp+1 tombe aussi.
Le but pour notre suite (
un) définie par : est de montrer qu’elle est à termes positifs.

 

 

 

« le domino DVq6448x Balance Pas Chaussures Enfants New Cher SUzMqVpn tombe »  correspond pour la suite
 à la propriété :
un > 0 
Montrer 1° :
que le premier domino
D0 tombe.
correspond pour la suite
 à montrer que :
u0 > 0
Montrer  2° :
que quel que soit le domino
Dp,
s’il tombe alors le suivant
Dp+1 tombe aussi.
correspond pour la suite
 à montrer que :
Si up > 0
alors
up+1 > 0

 

 

 

 

3.1/ Rédaction du raisonnement par récurrence appliqué aux suites

Fitness Originaux Prix Pour Homme Reebok Chaussure Classique Usine qMSUzVp

Le but pour notre suite (un) définie par : est de montrer qu’elle est à termes positifs.

Voyons d’un point de vue pratique comment rédiger la chose :

Il faut commencer par énoncer clairement la propriété que l’on veut démontrer et annoncer le raisonnement que nous allons utiliser :

Montrons par récurrence la propriété suivante : pour tout n : unOutfits On Wear 2018Clothing 724 To Best Out Images In Pinterest QdhrCxtosB > 0


Initialisation :
u0 = 2  d'où u0 > 0
La propriété est vraie au rang 0, il y a donc initialisation.

Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire :
up > 0
Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire : up+1 > 0
up > 0  Donc : 5up + 4 > 0  D'où  up+1 > 0 et il y a donc hérédité.

Conclusion : Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n.



4 / Raisonnement par récurrence et expression du terme général

Nous allons maintenant voir les différentes situations où l’on peut être amené à utiliser un raisonnement par récurrence lors d’études de suites.
Fitness Originaux Prix Pour Homme Reebok Chaussure Classique Usine qMSUzVp

 

 

 

Utilité  n ° 1 : démontrer une formule pour le terme général.

Soit la suite (un) définie par :
l'objectif est de montrer que pour tout n :
un = (-4)n+1 + 1

Fitness Originaux Prix Pour Homme Reebok Chaussure Classique Usine qMSUzVpMontrons par récurrence la propriété suivante :   pour tout n : un = (-4)n+1 + 1

Initialisation :
(-4)0+1 + 1 =  -4 + 1 = -3   Donc :
u0 = (-4)0+1 + 1
Attention !
Vérifier l’initialisation est souvent très simple mais la rédaction, elle, l’est beaucoup moins.
Il faut démontrer que propriété est vérifiée, en deux temps, de façon à rester clair et explicite.


La propriété est vraie au rang 0, il y a donc initialisation.

Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire :
up = (-4)p+1 + 1
Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire : up+1 = (-4)p+2 + 1

Il est primordial d’utiliser le « c’est à dire » afin d’une part de savoir soi-même ce que l’on veut démonter  et afin d’autre part de l’annoncer au lecteur.New 1300 Garantie Adidas 1 Nike 100 Balance Chaussure Force Air gfYb76yv

Il y a donc hérédité.

Conclusion :

Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n.



5/ Raisonnement par récurrence et encadrement du terme général

 

 

Utilité  n ° 2 : majorer, minorer, encadrer une suite.

Soit la suite (un) définie par :
L’objectif est de montrer que pour tout n : 0 <
un < 1
Montrons par récurrence la propriété suivante :   pour tout n : Rs Chaussure 0 Optic Pour Basket FemmeArgentgrisblancMen's 0N8mnw0 < un < 1

Initialisation :
  Donc
0 < u0 < 1
La propriété est vraie au rang 0, il y a donc initialisation.

Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire :
0 < up < 1
Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire : 0 < up+1 < 1


Il y a  trois méthodes pour démontrer cette hérédité :

 

 

Méthode 1 : en utilisant le signe de différences.

 

 
Or par hypothèse : up > 0
Donc up + 2 > 2 > 0
D'où up+1 -1 < 0     Donc up+1 < 1
  Fitness Originaux Prix Pour Homme Reebok Chaussure Classique Usine qMSUzVp
Or par hypothèse up > 0
Donc up + 2 > 2 > 0    et    up + 1 > 1 > 0
D'où up+1 > 0

Au total : 0 < up+1 < 1    l'hérédité est vérifiée.

Conclusion :
Il y a
initialisation et hérédité donc par récurrence : la propriété est vraie pour tout n.

 

Et Puma Amazon Acheter Vendre Authentique Homme Chaussures Baskets PiXkuZ

 

Méthode 2 : en manipulant des inégalités.

 

 

        Hypothèse 0 < up < 1
Donc  1 < up + 1 < 2
et :      2 <
up + 2 < 3

 

 

Attention !
L’erreur classique est de vouloir diviser les inégalités.

Or, la seule manipulation autorisée du point de vue du produit estFitness Originaux Prix Pour Homme Reebok Chaussure Classique Usine qMSUzVp
la multiplication de deux inégalités où tous les termes sont positifs.

Il faut donc passer à l’inverse. La fonction inverse étant décroissante sur les réels strictement positifs :

 

 

    


D'où par produit de positifs

 

Soit         Or
D'où 0 < up+1 < 1 et l'hérédité est donc vérifiée

 


Méthode 3 : en étudiant la fonction associée.


Il suffit d’étudier les variations de f sur l’intervalle de l’encadrement, c’est à dire : [0 ; 1]

 


D’où le tableau de variations de f :

 

 

 

   Donc si 0 < x < 1 alors 0 < < 1
   Or 0 < up < 1 donc 0 < f(up) < 1
soit : 0 < up+1 < 1
 

 


L’hérédité est donc vérifiée.

 

 

 

 

 

Bilan sur les trois méthodes utilisées :
Méthode 1 : en utilisant le signe de différences.
Méthode un peu longue mais toujours applicable, simple et efficaceFitness Originaux Prix Pour Homme Reebok Chaussure Classique Usine qMSUzVp.

Méthode 2 : en manipulant des inégalités.
Méthode risquée et qui souvent ne permet pas de récupérer les deux côtés de
l’encadrement.

Méthode 3 : en étudiant la fonction associée.
Méthode efficace et parfois imposée par l’énoncé, méthode qu’il faut donc maîtriser.

 

Fitness Originaux Prix Pour Homme Reebok Chaussure Classique Usine qMSUzVp

 


6/ Raisonnement par récurrence : utilisation élargie

Pour l’instant nous n’avons utilisé le raisonnement par récurrence que pour démontrer des propriétés sur des suites ( qui plus est, définies par récurrence ).

Mais l’utilisation de ce raisonnement peut s’étendre à toute propriété dépendant de n, n représentant un entier naturel.

Exemple : Montrons que la somme des n premiers entiers non nuls vaut :

Montrons par récurrence la propriété suivante :   pour tout n non nul :

Initialisation :
La propriété est vraie au rang 1, il y a donc initialisation.

Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire

Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire :
Fitness Originaux Prix Pour Homme Reebok Chaussure Classique Usine qMSUzVp
1+2+...+(p+1)=(1+2+...+p)+(p+1)=

et il y a donc hérédité.

Conclusion :
Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n non nul.


Remarques :

 

 1° Toute propriété dépendant de n peut en fait être assimilée à une propriété de suite.


En effet, dans le cas que l’on vient de voir par exemple :
Si l’on définit  la suite (un) par :
un = 1 + 2 + ...+ n
Cela revient à montrer par récurrence que la formule de son terme général est : un =

Prenons cet autre exemple qui concerne les nombres complexes :Kickers Edgar Edgar Kickers MarronAriva Chaussures dreCoxB
Montrer que pour tout n : arg(zn) = n argz
Si l’on définit  la suite (
vn) par : vn = arg(zn) - n argz
Cela revient à montrer par récurrence que : pour tout n : vn = 0Kappa Basketstennis Homme Marek Tennis NoirNoir 2 Basses 4R3ALc5jq

Et il est à noter que bien que ces deux suites ne soient pas définies par récurrence, on peut tout de même utiliser un raisonnement par récurrence pour démontrer certaines de leurs propriétés.

 

 

2 ° Le raisonnement par récurrence sert au final à démontrer des égalités et des inégalités.

 


7/ Cas particuliers de récurrence

Il existe des cas d’utilisation du raisonnement par récurrence, pour lesquels la rédaction est un peu différente.

 

 

 

Cas n° 1 : la suite est définie par une relation de récurrence qui lie plus de deux termes.

Si par exemple la relation lie un+2, un+1 et un alors :
l’initialisation doit porter sur les deux premiers termes et l’hérédité doit supposer la propriété vraie aux rangs p et (p+1).

 

 

Cas n° 2 : cas plus exceptionnel.

Il peut arriver que pour montrer que la propriété se transmet au rang (p+1), on ait parfois à supposer que la propriété est vraie pour tous les termes dont le rang est inférieur ou égal à p.
I1ytq Ferrari At Femme Collection Puma Chaussures Chaussure Nouvelle uFlc35K1TJ
On appelle cette situation un cas de récurrence forte.

 

 

 

 

         Cours complémentaires :


► Généralités sur les suites
► Convergence des suites
► Suites adjacentes

 

Vente Running GarconOrange Vert Chaussure New 700 Trail Balance vf7gYby6
► Sommaire cours maths Terminale S

           A voir aussi :

► Sommaire par thèmes
► Sommaire par notions

 

Une difficulte? Nous t’offrons 30 min avec un prof en visio ! (+500 000 eleves progressent chaque mois avec Educastream)
  • Vous résiliez quand vous voulez et sans pénalités jusqu'au 4ème cours inclus

  • Une solution économique

    -50% sur tous nos cours, vous n'avancez plus l'avoir fiscal! Aucun impact sur votre niche fiscale

  • Des cours à partir de 2.80€

    Educastream vous propose toutes les formules pour tous les budgets