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Cours maths Terminale S

 

Raisonnement par récurrence :
Dans ce module est introduit un des grands principes de raisonnement en mathématiques : le principe de raisonnement par récurrence.
Ce grand principe expliqué et illustré dans le cas général est ensuite appliqué aux suites.

 

► Sommaire cours maths Terminale S

      A voir aussi :

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 1/ Intérêt du raisonnement par récurrence

Intéressons-nous au signe de la suite (unNew Sgr Chaussure U 420 Balance UMSzVqp) définie par :
Comme
u0 > 0 , 5u0 + 4 > 0 et donc u1 > 0
De même : Comme
u1 > 0, 5u1 + 4 > 0 et donc u2 > 0

Baskets Volleyball Mid Chaussures Bleu X Wave Mode Tornado Homme v8nmNO0wIl est clair que l’on peut continuer ce raisonnement jusqu’à atteindre n’importe quel terme, et que donc : pour tout n : un > 0

Mais ce qui est surtout clair : c’est qu’il nous manque ici un outil permettant de rédiger une démonstration propre ne se terminant pas par « il est clair » ou « il est évident que ».

En effet, chaque fois qu’en Mathématiques on a recours à ce genre de formule c’est que l’on passe à côté d’une véritable rédaction, rigoureuse; l’outil extrêmement puissant qui va nous permettre de montrer que cette suite est à termes positifs de façon rigoureuse, c’est
le raisonnement par récurrence.


2/ Principe du raisonnement par récurrence.

Pour expliquer son principe sur le fond assez simple, on peut prendre l’image d'une suite infinie de dominos :


Si je veux être certain que tous les dominos tombent, je dois « en théorie » vérifier deux choses :

 

1° que le premier domino D0 tombe.

Problème : rien ne garantit qu’alors le dominant suivant D1 tombe aussi.
Cette première condition s’appelle : l’initialisation.

Il faut donc que je vérifie une deuxième chose :Calais Chaussures Pas De Occasion Annonces Leboncoin Nos Nord cTF3JlK1

 

 

2° que quel que soit le domino Dp, s’il tombe alors le suivant Dp+1 tombe aussi.

Cette deuxième condition s’appelle : l’hérédité.
Ainsi, comme d’après 1° D0 tombe, alors d’après 2° D1 tombe.
Comme
D1 tombe, d’après 2° D2New Sgr Chaussure U 420 Balance UMSzVqp tombe.

Par cet enchaînement sans fin, on peut donc affirmer que :
Si les conditions 1° et 2° sont vérifiées alors : quel que soit n :
Dn tombe.


3/ Application du raisonnement par récurrence aux suites.

Reprenons l’exemple des dominos et transposons le à notre exemple de suite :

Si je veux être certain que tous les dominos tombent, je dois « en théorie » vérifier deux choses :
1° que le premier domino
D0 tombe.
2° que quel que soit le domino
Dp, s’il tombe alors le suivant Dp+1 tombe aussi.
Le but pour notre suite (
un) définie par : est de montrer qu’elle est à termes positifs.

 

 

 

« le domino DSoldes Puma Homme Junior Chaussures chaussures Football 7gybYf6vIn tombe »  correspond pour la suite
 à la propriété :
un > 0 
Montrer 1° :
que le premier domino
D0 tombe.
correspond pour la suite
 à montrer que :
u0 > 0
Montrer  2° :
que quel que soit le domino
Dp,
s’il tombe alors le suivant
Dp+1 tombe aussi.
correspond pour la suite
 à montrer que :
Si up > 0
alors
up+1 > 0

 

 

 

 

3.1/ Rédaction du raisonnement par récurrence appliqué aux suites

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Le but pour notre suite (un) définie par : est de montrer qu’elle est à termes positifs.

Voyons d’un point de vue pratique comment rédiger la chose :

Il faut commencer par énoncer clairement la propriété que l’on veut démontrer et annoncer le raisonnement que nous allons utiliser :

Montrons par récurrence la propriété suivante : pour tout n : unPour Hommes Black Hammer Bottes Randonnée De Sécurité Hauteur FK1lJc > 0


Initialisation :
u0 = 2  d'où u0 > 0
La propriété est vraie au rang 0, il y a donc initialisation.

Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire :
up > 0
Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire : up+1 > 0
up > 0  Donc : 5up + 4 > 0  D'où  up+1 > 0 et il y a donc hérédité.

Conclusion : Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n.



4 / Raisonnement par récurrence et expression du terme général

Nous allons maintenant voir les différentes situations où l’on peut être amené à utiliser un raisonnement par récurrence lors d’études de suites.
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Utilité  n ° 1 : démontrer une formule pour le terme général.

Soit la suite (un) définie par :
l'objectif est de montrer que pour tout n :
un = (-4)n+1 + 1

New Sgr Chaussure U 420 Balance UMSzVqpMontrons par récurrence la propriété suivante :   pour tout n : un = (-4)n+1 + 1

Initialisation :
(-4)0+1 + 1 =  -4 + 1 = -3   Donc :
u0 = (-4)0+1 + 1
Attention !
Vérifier l’initialisation est souvent très simple mais la rédaction, elle, l’est beaucoup moins.
Il faut démontrer que propriété est vérifiée, en deux temps, de façon à rester clair et explicite.


La propriété est vraie au rang 0, il y a donc initialisation.

Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire :
up = (-4)p+1 + 1
Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire : up+1 = (-4)p+2 + 1

Il est primordial d’utiliser le « c’est à dire » afin d’une part de savoir soi-même ce que l’on veut démonter  et afin d’autre part de l’annoncer au lecteur.98 Eureka Chaussures Kickers Noir Sandale Femme BdCoex

Il y a donc hérédité.

Conclusion :

Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n.



5/ Raisonnement par récurrence et encadrement du terme général

 

 

Utilité  n ° 2 : majorer, minorer, encadrer une suite.

Soit la suite (un) définie par :
L’objectif est de montrer que pour tout n : 0 <
un < 1
Montrons par récurrence la propriété suivante :   pour tout n : Et Chaussure Blanche Rouge Puma Chaussure Puma F1TKlJuc30 < un < 1

Initialisation :
  Donc
0 < u0 < 1
La propriété est vraie au rang 0, il y a donc initialisation.

Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire :
0 < up < 1
Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire : 0 < up+1 < 1


Il y a  trois méthodes pour démontrer cette hérédité :

 

 

Méthode 1 : en utilisant le signe de différences.

 

 
Or par hypothèse : up > 0
Donc up + 2 > 2 > 0
D'où up+1 -1 < 0     Donc up+1 < 1
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Or par hypothèse up > 0
Donc up + 2 > 2 > 0    et    up + 1 > 1 > 0
D'où up+1 > 0

Au total : 0 < up+1 < 1    l'hérédité est vérifiée.

Conclusion :
Il y a
initialisation et hérédité donc par récurrence : la propriété est vraie pour tout n.

 

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Méthode 2 : en manipulant des inégalités.

 

 

        Hypothèse 0 < up < 1
Donc  1 < up + 1 < 2
et :      2 <
up + 2 < 3

 

 

Attention !
L’erreur classique est de vouloir diviser les inégalités.

Or, la seule manipulation autorisée du point de vue du produit estNew Sgr Chaussure U 420 Balance UMSzVqp
la multiplication de deux inégalités où tous les termes sont positifs.

Il faut donc passer à l’inverse. La fonction inverse étant décroissante sur les réels strictement positifs :

 

 

    


D'où par produit de positifs

 

Soit         Or
D'où 0 < up+1 < 1 et l'hérédité est donc vérifiée

 


Méthode 3 : en étudiant la fonction associée.


Il suffit d’étudier les variations de f sur l’intervalle de l’encadrement, c’est à dire : [0 ; 1]

 


D’où le tableau de variations de f :

 

 

 

   Donc si 0 < x < 1 alors 0 < < 1
   Or 0 < up < 1 donc 0 < f(up) < 1
soit : 0 < up+1 < 1
 

 


L’hérédité est donc vérifiée.

 

 

 

 

 

Bilan sur les trois méthodes utilisées :
Méthode 1 : en utilisant le signe de différences.
Méthode un peu longue mais toujours applicable, simple et efficaceNew Sgr Chaussure U 420 Balance UMSzVqp.

Méthode 2 : en manipulant des inégalités.
Méthode risquée et qui souvent ne permet pas de récupérer les deux côtés de
l’encadrement.

Méthode 3 : en étudiant la fonction associée.
Méthode efficace et parfois imposée par l’énoncé, méthode qu’il faut donc maîtriser.

 

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6/ Raisonnement par récurrence : utilisation élargie

Pour l’instant nous n’avons utilisé le raisonnement par récurrence que pour démontrer des propriétés sur des suites ( qui plus est, définies par récurrence ).

Mais l’utilisation de ce raisonnement peut s’étendre à toute propriété dépendant de n, n représentant un entier naturel.

Exemple : Montrons que la somme des n premiers entiers non nuls vaut :

Montrons par récurrence la propriété suivante :   pour tout n non nul :

Initialisation :
La propriété est vraie au rang 1, il y a donc initialisation.

Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire

Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire :
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1+2+...+(p+1)=(1+2+...+p)+(p+1)=

et il y a donc hérédité.

Conclusion :
Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n non nul.


Remarques :

 

 1° Toute propriété dépendant de n peut en fait être assimilée à une propriété de suite.


En effet, dans le cas que l’on vient de voir par exemple :
Si l’on définit  la suite (un) par :
un = 1 + 2 + ...+ n
Cela revient à montrer par récurrence que la formule de son terme général est : un =

Prenons cet autre exemple qui concerne les nombres complexes :Rn Chaussures Cher 2016 Flex 75131 Nike Ignelil Pas De Running OXTkwPiZu
Montrer que pour tout n : arg(zn) = n argz
Si l’on définit  la suite (
vn) par : vn = arg(zn) - n argz
Cela revient à montrer par récurrence que : pour tout n : vn = 0Classic Baskets Montana Homme Cans Classics Leather En Reebok Cuir Yfgb76y

Et il est à noter que bien que ces deux suites ne soient pas définies par récurrence, on peut tout de même utiliser un raisonnement par récurrence pour démontrer certaines de leurs propriétés.

 

 

2 ° Le raisonnement par récurrence sert au final à démontrer des égalités et des inégalités.

 


7/ Cas particuliers de récurrence

Il existe des cas d’utilisation du raisonnement par récurrence, pour lesquels la rédaction est un peu différente.

 

 

 

Cas n° 1 : la suite est définie par une relation de récurrence qui lie plus de deux termes.

Si par exemple la relation lie un+2, un+1 et un alors :
l’initialisation doit porter sur les deux premiers termes et l’hérédité doit supposer la propriété vraie aux rangs p et (p+1).

 

 

Cas n° 2 : cas plus exceptionnel.

Il peut arriver que pour montrer que la propriété se transmet au rang (p+1), on ait parfois à supposer que la propriété est vraie pour tous les termes dont le rang est inférieur ou égal à p.
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On appelle cette situation un cas de récurrence forte.

 

 

 

 

         Cours complémentaires :


► Généralités sur les suites
► Convergence des suites
► Suites adjacentes

 

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► Sommaire cours maths Terminale S

           A voir aussi :

► Sommaire par thèmes
► Sommaire par notions

 

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